Окончил Красноярское художественное училище им. В. И. Сурикова (2006 г.) по специальности театрально-декорационная живопись, а затем Санкт-Петербургскую государственную академию театрального искусства по специальности художник-постановщик (2011 г., мастерская В. И. Фирера).
В эти же годы (2006–2009) факультативно занимался в Институте декоративно-прикладного искусства по специальности станковая графика в мастерской профессора О. Ю. Яхнина.
В 2009 году, ещё до окончания Санкт-Петербургской государственной академии театрального искусства, начал работать в Санкт-Петербургском музыкальном театре «Зазеркалье», с которым сотрудничает до настоящего времени. Лауреат театральной премии «Золотой Софит» за сценографию спектакля «Снегурочка» (1995 г.).
С 2012 года является членом Санкт-Петербургского отделения Союза Художников РФ по секции театра и кино.
Алексей Левданский принимает участие в различных театральных проектах, в том числе: постановка оперы Людвига ван Бетховена «Фиделио» (2020 г., режиссер И. Фокина, «Петербург-Концерт» и Симфонический оркестр Санкт-Петербурга под управлением С. Стадлера на сцене Эрмитажного театра); постановка иммерсивной оперы-спектакля «Ленора» И. Цумштега (2022 г., режиссер И. Фокина, в Тронном зале Екатерининского дворца в Царском селе) и др.